小奥家长来做题！【2】
本帖最后由 八娃 于 2021-12-16 11:37 编辑请证明：存在无限多个自然数n使得6n+1和6n-1都是合数。
反证，假设有限个，那么设n最大为m
6m+1 =kp
构造n=m+k
6n+1=6m+6k+1=k(p+6)
矛盾，所以为无限个 找一个n的通解，同时满足6n+1模7为0，6n-1模5为0就可以了，应该是这个思路。 这个好像也不是什么奥数题吧，就是普通的证明题 kaka2000 发表于 2021-12-6 10:09
这个好像也不是什么奥数题吧，就是普通的证明题
既然都奥神了，那对付普通题不更是小菜一碟嘛~ 本帖最后由 八娃 于 2021-12-6 10:43 编辑
hatastar 发表于 2021-12-6 10:07
找一个n的通解，同时满足6n+1模7为0，6n-1模5为0就可以了，应该是这个思路。
牛！这个方法好，一下子就能找到通解！ 进来看奥神解答 kaka2000 发表于 2021-12-06 10:06
反证，假设有限个，那么设n最大为m
6m+1 =kp
构造n=m+k
6n+1=6m+6k+1=k(p+6)
矛盾，所以为无限个
你漏了前面先有第一个，虽然这一步也不难。 八娃 发表于 2021-12-6 10:26
既然都奥神了，那对付普通题不更是小菜一碟嘛~
没学过奥数，哪来奥神，但是确实只能算拓展，算不上奥数。 这题超纲了吧，没学过求模运算是很难做出来的 唉……
3863 发表于 2021-12-06 12:39
你漏了前面先有第一个，虽然这一步也不难。
不需要设第一个的，那个是归纳法的证法，一楼已经说了是反证法了，目前这些已经足够了。而且多说一句，大多数要证明这种无限多个的时候用反证法推出矛盾是最快的方法。 Anderson 发表于 2021-12-06 17:18
不需要设第一个的，那个是归纳法的证法，一楼已经说了是反证法了，目前这些已经足够了。而且多说一句，大多数要证明这种无限多个的时候用反证法推出矛盾是最快的方法。
不好意思，又看了一下，一楼证明漏了一半，只证了6n+1，还需要证另一半才完整。 构造一个符合条件的就可以了。同时能被5、7整除，或者同时能被5、11整除等等。每一种可能都是循环的有无限个n可以符合条件。 hatastar 发表于 2021-12-06 10:07
找一个n的通解，同时满足6n+1模7为0，6n-1模5为0就可以了，应该是这个思路。
思路非常优秀。
是怎么想到去做mod7和mod5的呢？
能换成别的模数吗？ 3863 发表于 2021-12-07 06:49
思路非常优秀。
是怎么想到去做mod7和mod5的呢？
能换成别的模数吗？
看了答案再理解就简单了，这两个数必然是奇数，2排出，中间的6m,必然是3的倍数，6m必然有个末位是6，那么6m-1必然是5的倍数，6m+1比-1多2，存在比5大2的为7的因子的可能性，就是说，6m-1-5与6m+1-7是5*7的倍数 3863 发表于 2021-12-7 06:49
思路非常优秀。
是怎么想到去做mod7和mod5的呢？
主要还是要理解数学归纳法的解题思路，这种题目都是有套路的。我不太清楚这道题算几年级的，不过我是支持论坛上的一个说法的，假如家长做4、5年级的数论题目就有点吃力的话，就不要强迫孩子花很大精力学奥数了。我最近仔细看了一下学而思大白3、4、5年级的教材，4年级的奥数体系跟3年级相比跨度太大了，真不是每个小孩都能适应这种知识体系和训练方式。 roammer 发表于 2021-12-07 09:19
看了答案再理解就简单了，这两个数必然是奇数，2排出，中间的6m,必然是3的倍数，6m必然有个末位是6，那么6m-1必然是5的倍数，6m+1比-1多2，存在比5大2的为7的因子的可能性，就是说，6m-1-5与6m+1-7是5*7的倍数
要么我理解力不行，要么你不知所云…… 本帖最后由 3863 于 2021-12-7 12:44 编辑
hatastar 发表于 2021-12-07 09:58
主要还是要理解数学归纳法的解题思路，这种题目都是有套路的。我不太清楚这道题算几年级的，不过我是支持论坛上的一个说法的，假如家长做4、5年级的数论题目就有点吃力的话，就不要强迫孩子花很大精力学奥数了。我最近仔细看了一下学而思大白3、4、5年级的教材，4年级的奥数体系跟3年级相比跨度太大了，真不是每个小孩都能适应这种知识体系和训练方式。
不，要证明这个结果不难。
难在想到这个思路。
而且第一个n是20，反而不是你35k+1的模式。 本帖最后由 八娃 于 2021-12-8 20:25 编辑
3863 发表于 2021-12-7 12:39
不，要证明这个结果不难。
难在想到这个思路。
为了保证6n+1和6n-1为合数，分别拿出一个6与余数1和-1组成新数7和5，此时只要前面6(n-1)能被7和5整除，则其一定是合数。实际上分离出1、2、3...个6分别对应7、5；13、11；19、17；...也都可行。
也许这么思考能走通。
取n=35m+1，6n-1=210m+5=5(42m+1)是合数。
6n+1=210m+7=7(30m+1)也是合数。
所以有无数个 鹰岩 发表于 2021-12-9 05:06
不是什么大神，但是大家都没学过不定方程吗？对于不定方程的特解和通解真的不知道？只要解不定方程6n+1=kp, ...
你娃很优秀！我看小蓝本方程后半部分才讲不定方程。 你们的思路错了， 小学奥数更像拥有前置知识点以后的解谜题，而不是这样暴力拆解。
做这个题的前置知识点，是被3，5，7整除的数的特点。
能被5整除的数的特点是个位数是5，0。 能被7整除的数，十位以上减各位乘以2能被7整除。 比如63， 6-2*3 是被7整除的，所以63被7整除。
所以可以构造n=70x+1， 那样6n-1=420x+5肯定被5整除。 而6n+1=420n+7， 也肯定被7整除。 问题就解决了。
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